ASOBANCARIA - LA CORRECION MONETARIA Y EL CREDITO EN UPAC 1986

'

LA CORRECCION MONETARIA

Y EL CREDITO

EN UPAC

CARLOS ALBERTO ZARRUK GOMEZ

© Derechos Reservados Carlos Alberto Zarruk Gómez

Diseño Carátula: PVG Publicidad la. Edición: Noviembre de 1986. 2.000 ejemplares impresos en los Talleres

de Multígráficas Ltda. Bogotá, (Colombia) AGRADECIMIENTOS Al Consejo Directivo del Instituto Colombiano de Ahorro y Vivienda; al doctor Luis Fernando Sanin Bernal, Presidente del Consejo Directivo; al doctor Luis Eduardo Rosas, Director del Instituto; por el apoyo que me brindaron para la realización y publicación de este trabajo. CARLOS ALBERTO ZARRUK GOMEZ PRESENTACION Tengo gran placer de presentar este excelente trabajo del Dr. Carlos Alberto Zarruk Gómez, del Instituto Colombiano de Ahorro y Vivienda, entidad bajo la dirección del Dr. Luis Eduardo Rosas. Aunque la idea básica en que se fundamenta el Sistema Colombiano de Ahorro y vivienda es simple y ha sido comprendida por millones de ahorradores y varios miles de deudores, la apli— cación cuantitativa de la idea de mantener dos sistemas de contabilidad, uno en pesos corrientes y otro en pesos de valor constante, trae algunos problemas. Son principalmente estos problemas los que el Dr. Zarruk trata, haciendo su estudio indispensable para quienes quieran comprender el funcionamiento exacto del Sistema UPAC, especialmente las múltiples opciones de amortización de créditos ofrecidas por las Corporaciones de Ahorro y Vivienda. La capacidad del Sistema para estimular y atraer recursos del ahorro privado

así como para proveer los fondos necesarios para la financiación de la vivienda y las construcciones comerciales depende, finalmente, de un amplio entendimiento de su operación por parte de las entidades gubernamentales encargadas de su regulación. Este estudio es una valiosa contribución para ese efecto.

LAUCHLIN CURRIE

INTRODUCCION El Sistema Colombiano de Ahorro y Vivienda —Sistema UPAC— cumplirá próximamente sus primeros quince años de operación en el país; Durante este tiempo ha demostrado ser un Sistema eficiente de administración de recursos que introdujo cambios fundamentales en los esquemas de intermediación financiera vigentes en Colombia hasta 1972. La base de las innovaciones fue el establecimiento de un mecanismo de ajuste monetario ——la corrección monetaria— que mantiene el valor constante de los fondos, tanto de ahorro como de préstamo, manejados por el Sistema. El ajuste monetario de los recursos le confiere características particulares al proceso de intermediación desarrollado por las Corporaciones de Ahorro y Vivienda, al tiempo que se traduce en ventajas a favor de todos los usuarios del Sistema, bien que sean ahorradores o deudores hipotecarios de una Corporación. Este trabajo presenta los principales aspectos técnicos relacionados con la aplicación de la corrección monetaria a las operaciones del Sistema UPAC, con especial énfa— sis en el manejo y desarrollo de las operaciones de crédito. El primer capítulo contiene una presentación de los conceptos básicos de la noción de “interés“, y de su aplicación. Se estudia la naturaleza del interés, las razones que explican su existencia y las modalidades de interés simple e interés compuesto. El capítulo finaliza con la derivación y aplicación de tasas de interés equivalentes para períodos de tiempo diferentes. El concepto de equivalencia es fundamental pues es la base para el cálculo del valor de la UPAC, dado que esta es una Unidad cuyo valor cambia a una tasa diaria equivalente a una tasa anual de variación de los precios. El capítulo segundo trata sobre la corrección monetaria y la Unidad de 'Poder Adquisitivo Constante UPAC. En pri— mer lugar, se hace una referencia breve a la creación del Sistema 'UPAC y a los principios que rigen la aplicación de la corrección monetaria a las operaciones activas y pasivas de las Corporaciones de Ahorro y Vivienda. En segundo lugar, se analiza la naturaleza de la UPAC y sus características fundamentales, así como los aspectos prácticos de cálculo y aplicación de la corrección monetaria a las operaciones del Sistema..En el capítulo tercero se hace una presentación general de los sistemas de amortización de créditos utilizados por las Corporaciones de Ahorroy Vivienda en los préstamos hipotecarios a largo plazo. Igualmente, se exponen los principios y las normas que rigen las operaciones de crédito de las Corporaciones. Los capítulos cuarto, quinto y sexto contienen una exposición detallada de diecisiete planes de pago de crédito que se han aplicado en el Sistema UPAC. Se presenta el procedimiento para determinar las cuotas periódicas de amortización, así como ejemplos sobre el comportamiento, mes por mes, de una deuda a quince años de plazo. Cada uno de estos capítulos se refiere a un grupo de planes de pago con características diferentes. En el capítulo séptimo se analizan los planes

de pago de créditos del Sistema UPAC desde diferentes puntos de vista. El costo financiero de los mismos y su relación con el costo del crédito de otros intermediaros. Los efectos de la corrección monetaria y de la tasa de interés sobre el costo financiero y las cuotas de amortización y el comportamiento de las cuotas y del saldo de los préstamos a través del tiempo. En el apéndi— ce 1 se presentan las cuotas del último mes de cada año en los sistemas expuestos, para créditos con plazos de 15, 12, 10, 8 y 5 años, tasas de interés de Sº/o, 6.50/0, 70/0 y lºº/o y corrección monetaria que varía entre el 200/0 y el 230/o anual. Finalmente, el apéndice 2 contiene la derivación de las fórmulas matemáticas utilizadas para el cálculo de las cuotas de amortización de los diferentes planes de pago. Primera parte CAPITULO I EL INTERES 1.1 El concepto de interés Enseguida se analiza el concepto de interés y su tratamiento ordinario como una medida relativa utilizada en la evaluación de las diferentes alternativas de inversión. 1.1.1 ¿Qué es el interés? El interés es una cantidad adicional obtenida como resultado de la inversión de una determinada suma de dinero durante un período de tiempo cualquiera. Es la suma paga— da por quien recibe una cantidad de dinero en calidad de depositario o prestatario a la persona que ha renunciado a la utilización de la misma. Si por ejemplo, se hace un depó- sito de $40 en un banco por el término de un año, y al cabo del plazo el banco devuelve al depositante la suma de $48, esta se puede descomponer de la siguiente manera:

— $40, son el depósito inicial — $8, recibidos por concepto de interés sobre la cantidad inicial depositada. 1.1.2 El interés como una tasa Además de saber que el interés es la cantidad recibida como resultado de invertir una suma de dinero durante un tiempo determinado, es necesario contar con algún elemento capaz de medir el resultado de una inversión, con el propósito de comparar esta con algunas inversiones alternativas y así poder escoger entre todas ellas la mejor, o la más rentable. Dado que un individuo tiene la posibilidad de escoger entre una gran variedad de oportunidades de inversión, es preciso que esté en capacidad de medir en forma adecuada los resultados de cada una de ellas con el fin de efectuar la mejor elección. Esta medición debe hacerse a través de un instrumento que relacione, en todos los casos, el provecho obtenido al final con la inversión realizada al comienzo. Es esta la única forma de saber qué significan las sumas obtenidas al final (por concepto de interés o, en general como rendimiento de una inversión cualquiera) en términos de la inversión realizada al comienzo del período. Es esta una forma de medir el rendimiento en relación directa con la cantidad que se destinó inicialmente al proyecto de inversión. l3 En el caso del ejemplo anterior, al relacionar la cantidad obtenida por concepto de interés con la cantidad depositada en el banco al comienzo del período, se obtiene: $ 8 i=—=0.20 El resultado es una tasa de interés (i) de 0.20, que significa que por cada peso ahorrado la inversión rinde 20 centavos por concepto de interés. El porcentaje es una forma general de expresar las tasas y, particularmente, una tasa

de interés. Su significado no es más que la conversión del rendimiento obtenido por cada peso (unidad) invertido a lo que se hubiera obtenido si la inversión hubiera sido de cien pesos (cien unidades). Responde al interrogante de ¿cuánto rendiría esa inversión por cada cien pesos, teniendo en cuenta que rinde tanto por cada peso?. En el caso del ejemplo anterior se tiene la siguiente conversión: $l Rinde $020 $100 Rinden ? ] = x 100 = $20 por cada $100 = 20% ¡ En este caso, al multiplicar por 100 el rendimiento obtenido por cada unidad de inversión, se está expresando cuánto rinde esa inversión por cada cien pesos, sin alterar la medición real de la rentabilidad de la misma1 dado que son equivalentes las tres expresio— nes siguientes: — La inversión rinde $0.20 por cada $1.00 — La inversión rinde $2.00 por cada $10.00 — La inversión rinde $20.00 por cada $100.00 En los tres casos la rentabilidad de la inversión es del veinte por ciento (20%) Es importante tener en cuenta la naturaleza de la tasa y del porcentaje: son medí— cíones relativas, relacionan dos cantidades entre sí y expresan qué porción es una de la otra. En el ejemplo que se trae, aunque la tasa de interés resultó ser del veinte por ciento (20%) anual, nótese que la inversión total no alcanzó a ser de cien pesos ($100), tan solo fue de cuarenta pesos($40). En este caso, lo que significa una tasa de interés del 20% anual es que, dado el patrón de rentabilidad de esa inversión,si la cantidad depositada

1 Se supone que cada peso invertido aporta una cantidad igual de rendimiento… 14 hubiera sido de cien pesos ($100) el rendimiento obtenido habría sido de veinte pesos ($20); pero, dado que el monto invertido fue solamente de cuarenta pesos ($40), el rendimiento tan solo alcanzó a ser de ocho pesos ($8), o sea, el 20%de la cantidad invertida. La tasa de interés, o tasa de rentabilidad, es un instrumento apropiado para medir y comparar el rendimiento de diferentes alternativas de inversión con el propósito de esco— ger la mejor de ellas. Si frente al ejemplo que se trató antes, otro banco le entrega al mismo individuo (que depositó $40 durante un año) al cabo del plazo la suma de cuarenta y cuatro pesos ($44), quiere decir que únicamente le reconoció cuatro pesos ($4) por concepto de interés sobre la inversión realizada durante el año. Así, la tasa de interés de esta última operación será de: $ 4 ¡=— =0.10 X 100=10% $40 Es mayor la tasa de interés reconocida en la primera inversión, lo cual quiere decir que si las demás condiciones son equivalentes entre las dos alternativas es más ventajoso realizar la primera de ellas, o sea la que reconoce por el ahorro una tasa de interés del 20ºá anuaL 1.2 La existencia del interés En este punto se mencionan brevemente algunas razones que justifican la existencia del interés en un sistema de economía de mercado. En primer lugar, uno de los aspectos fundamentales de la organización económica, es la generación de un excedente al final de un proceso productivo o de un ciclo de negocios, cuya reinversión, total o parcial, es necesaria para el reinicio del ciclo. La persona que renuncia a la utilización del dinero en una actividad productiva está renunciando, igual— mente, a la posibilidad de obtener la ganancia normal derivada del desarrollo de tales ac— tividades. Por consiguiente, esa persona exigirá de aquel a quien le brindó la posibilidad de utilizar su dinero en una actividad “productiva“, una remuneración que cubra el costo de oportunidad en que incurrió al renunciar a la utilización del dinero en inversiones alternativas. En segundo lugar, la pérdida de poder de compra sufrida por el dinero como consecuencia del incremento del nivel de precios, hace necesaria la existencia y aplicación de un factor de compensación. Quien invierte una suma de dinero durante un tiempo espera ob— tener al final del plazo una cantidad cuyo poder adquisitivo sea similar al dela inicialmente destinada a la inversión. El interés debe cubrir, entonces, total o parcialmente, la desvalorización ocasionada al dinero porla inflación. En tercer lugar, se puede explicar el interés como el costo de un factor indispensable para el desarrollo de cualquier proceso productivo, como es el capital. Asi, es apenas lógico que el titular del dinero reciba la remuneración correspondiente de parte de quien utiliza temporalmente su dinero en un negocio determinado. 15 Finalmente, quien invierte una cantidad la está sustrayendo de los ingresos corrientes que normalmente destina a satisfacer las necesidades de consumo. Está sacrificando en parte el consumo presente, el cual se difiere hasta el momento en que recupere el dinero invertido. Debe entonces, recibir un incentivo que lo induzca a distraer una parte de los ingresos destinados al consumo.

Todos estos factores, entre otros, actúan en conjunto de acuerdo con las condiciones económicas concretas en cada tiempo y lugar para producir el interés como la cantidad pagada a quien invierte una suma de dinero durante un tiempo determinado. 1.3 Diferentes modalidades de interés El pago de interés puede presentar diferentes modalidades, dependiendo de si se pagan vencidos o anticipados, si los pagos de interés a su vez devengan o no intereses, o si se pagan mensual, trimestral, anualmente o por períodos diferentes. Dado que todas las tasas de interés del Sistema UPAC se pagan por periodos vencidos, o sea, se pagan los intereses al final del período durante el cual se causan, no se tra— tará aquí el caso de los intereses anticipados, aquellos que se pagan al comienzo del periodo en que se causan. En todos los casos, ejemplos y aplicaciones que se presentan en este documento se supone que los intereses se pagan al final del correspondiente periodo. En el presente aparte se trata sobre la distinción entre interés simple e interés com— puesto. El problema de la equivalencia de tasas de interés para periodos de tiempo diferentes será analizado más adelante en el presente capítulo. 1.3.1 Interés simple Cuando los pagos por concepto de interés no devengan intereses, se está reconociendo un interés simple sobre el capital invertido inicialmente. En este caso para obtener las cantidades que se deben pagar por concepto de inte— rés, se debe aplicar al capital o suma invertida la tasa de interés periódica correspondiente. Así, las sumas pagadas por concepto de interés (int.), serán las resulantes de aplicar la tasa de interés correspondiente (i) al capital invertico (C).

Int=C xi Ejemplo: Si una persona hace un depósito de $250 y le pagan un interés del 2%mensual durante tres meses, entregándole mensualmente las cantidades devengadas por concepto de 16 interés durante cada período, ¿cuánto recibe esa persona al final del plazo del depósito?. ier. mes: $250 X 0.02 = 20. mes: $250 x 0.02 = %-en-m— U1LhU1 3er. mes: $250 X 0.02 =

TOTAL RECIBIDO POR INTERESES $15

En totaI recibe $15 por interés y al final del plazo pactado recibirá, además, Ios $250 deI depósito inicial. La fórmula general para saber cuál es el capital obtenido después de n períodos (Cn) de colocar un capital inicial (C) a una tasa de interés simple (i), es Ia siguiente: — Interés período I: C Xi — Interés período 2: C X i — Interés período n: C x ¡ INTERESES TOTALES: n.(Cxí) Si además de lo obtenido por concepto de intereses, se adiciona el capital inicial, al cabo de n períodos se habrá obtenido el siguiente capitaI (Cn): Cn =C + [n. (CX i)] Fórmula© Donde: C = Suma inicial invertida n = Número de períodos de la inversión ¡ = Tasa de interés simpie 1.3.2 Interés compuesto Cuando Ios intereses pagados sobre una inversión se incorporan o adicionan ai capital de la misma desde el momento en que se pagan y, a su vez, empiezan a devengar también intereses, se está reconociendo un interés compuesto sobre la cantidad de dinero ¡nicialmente invertida. El patrón de crecimiento de un capitaI (C) invertido durante n períodos a una tasa de interés compuesto (i) es el siguiente: — Al final del período I:C + (CX ¡) =C.(I + ¡) I7 — Dado que los intereses entran a formar parte del capital, se tendrá al final del período 2: C.(l+ ¡) + c.(1+¡).1=c.(1+¡).(1+¡)=c.(1+¡)2 — Al final del período 3: en + ¡)2 + en + ¡)º.¡ =c.(1 + ¡)2.(1 + ¡) =c.(1 + ¡)3 — Al final del período n: c.(1 + ¡)n Por tanto el capital obtenido al final del período n (Cn) será: Cn =C-(1+Í)n Fórmula© Donde: C = Capital inicial n = Número de períodos ¡ = Tasa de interés compuesto Los cálculos financieros que se realizan en el presente documento se efectúan con base en el pago de interés compuesto. Es el procedimiento lógico si se tiene en cuenta que, dadas las múltiples alternativas de inversión que se le presentan a cualquier individuo, es preferible mantener el dinero en una inversión rentable antes que mantenerlo ocioso y sin producir ningún rendimiento. Para efectos de análisis se supone, entonces, que las su— mas recibidas periódicamente por concepto de interés se incorporan al capital invertido desde el mismo momento en que se abonan y que empiezan a devengar interés a partir de ese momento. La fórmula anterior, que determina la valorización de una suma con base en una tasa compuesta de interés durante un número de períodos cualquiera, es la base

para establecer las relaciones de equivalencia entre sumas de dinero alo largo del tiempo. Es así mismo, la base para establecer relaciones financieras más complejas, como las que serán expuestas posteriormente. 1.4 Equivalencia del dinero en el tiempo Las razones expuestas en los puntos anteriores muestran cómo difiere el valor del dinero en el tiempo. Dan evidencia de que no es lo mismo recibir una cantidad determinada hoy, que la misma cantidad al cabo de cierto tiempo. Es necesario encontrar una forma de comparar las cantidades en diferentes momentos para poder establecer relaciones de equivalencia entre sumas a través del tiempo. La relación fundamental de equivalencia es la que existe entre una suma presente (P) y una suma futura (S), teniendo en cuenta una tasa de interés (i) aplicada durante n períodos. s = P (1 + ¡)“ Fórmula © 18 Esta fórmula responde ala pregunta de ¿cuánto voy a recibir después de n periodºs de mantener invertida la suma P, a una tasa de interés ¡?

Ejemplo: ¿Cuánto recibiré después de tres años de mantener invertidos $120 al 25%anual? s =120 x (1+ 0.25)3 =$234,38

Ejemplo: ¿Cuánto recibiré después de siete meses de mantener invertidos $95 al 2,8%mensual? : s=95 x (1 + 0.028)7 $115,26

Ejemplo: ¿Cuánto recibiré después de tres trimestres de mantener invertidos $500 al ll%trí— mestral? s =500 x (1+ 0.11)3 =$683,82

En los ejemplos anteriores se establece la valorización de una suma presente durante n

períodos de tiempo. Pero, alternativamente, puede ocurrir el caso en que se quiera averiguar la equivalencia en el momento presente de una suma conocida que se obtendrá en el futuro. Conociendo la tasa de interés (i) que se ha de aplicar a la inversión y el número de períodos (n) que dura la misma, se puede conocer esa suma actual (P) a partir de una suma futura (S): _ S Fórmula© (1 + ¡)n Ejemplo: ¿Cuánto debo ahorrar hoy, a una tasa de interés del 3% mensual, para obtener $600 dentro de cinco meses? 600 =———=$517,57 P (1 + 0.03)5 19

Ejemplo: ¿Cuánto debo ahorrar hoy, a una tasa de interés del 15% semestral, para obtener $1.115 dentro de siete semestres?

1"… P— —$41917 (1 +0.15)7 ' Ejemplo: ¿Cuánto debo ahorrar hoy, a una tasa de interés del 27.46% anual, para obtener $1.000.000 dentro de 15 años? —1.00—0.000 P = = $26.265 84 ' (1 + 0.2746)15 1.5 Equivalencia de intereses Dada la existencia de la tasa de interés y de los fenómenos que están detrás de la misma —tales como inflación, desvalorización monetaria, posibilidad de realizar inversio— nes que reporten ganancia, etc.— es necesario tener en cuenta las relaciones estudiadas en los puntos anteriores cuando se van a comparar diferentes cantidades de dinero en dife— rentes momentos del tiempo. Como se ha visto, financieramente no es igual recibir una

cantidad de dinero en una fecha que la misma cantidad al cabo de cierto tiempo. Para ha— cer equivalentes dos sumas en diferentes momentos del tiempo es necesario llevar a cabo las operaciones de valorización o desvalorización correspondientes. Pero, además, en el análisis del dinero a través del tiempo se debe tener en cuenta un aspecto sobre el cual no se ha tratado y es el siguiente: la tasa de interés aplicada a una cantidad de dinero invertida durante un período cualquiera, debe ser la tasa de interés que efectivamente corresponda al período de tiempo en cuestión. Más claramente, esto quiere decir que si los períodos durante los cuales se mantuvo la inversión se están contabilizando en términos de años, la tasa utilizada para realizar los cálculos financieros debe ser una tasa de interés anual. Pero, si los períodos se están contabilizando en términos de semestres, trimestres, meses o aún días, las tasas correspondientes deben ser tasas de interés semestrales, trimestrales, mensuales o diarias, respectivamente. La tasa de interés aplicada a la inversión o al pago realizados debe ser simétrica al período (o períodos) de tiempo utilizados en el análisis. Se obtendrían unos resultados absurdos, si, por ejemplo, a una inversión anual se aplicara una tasa de interés diaria, o de cualquier otra periodicidad diferente a un año. Sin embargo, es muy frecuente el caso en el cual se conoce una tasa de interés anual, pero se desea saber el resultado obtenido al hacer una inversión a esa tasa anual durante un período diferente a un año: un semestre, por ejemplo. En ese caso es necesario obtener una tasa de interés semestral tal que aplica— da dos semestres a la inversión deseada, arroje resultados equivalentes a los obtenidos al

aplicar a la misma inversión la tasa de interés anual conocida. Si, alternativamente, se desea conocer el resultado de una inversión durante un trimestre, pero tan solo se conoce la 20 t q qa u us e ea sad epe l oici bn a rdt ee a nré dds ru íara an nnu ta ael l, ace pus la ictn r aoe rce ats ra i lr m aio e m, st ir se e mn st ao an ic nle a vs e, i rn se v ión e nrc so ió ln antr , ta ar a sr aru o dn j ea e it nra e ts esa u réld t sae d ao ni sn ut ae leré q cs u or nvtr oai l cm e in de t as et sr da el a alt oa nsltemano. Esta operación es conocida como “equivalencia de intereses“. En resumen, consiste q cen oue ne trn si ac ro sen tat a sr p aa slr ict daa irs aaa rns iaspd ae tr aa li en u ste nr qé l us a epsp o aa pra li ig cu ap a de l, arí so ad r dro o us j ra ard níae tn eti le orm e ssp u 3o l 6ta 5dd o dif s íe ar se en q dt u ee lis v, aa ñlc e oo nn t aesl u.a nc aPa o ir r na vc e ejt ee rsmr ií ós p nt li oc , aa re rd one --

jen los mismos resultados que una tasa anual aplicada durante el mismo año a la misma inversión. 0 también, encontrar una tasa de interés mensual tal que al aplicarse a un capital durante los doce meses de un año, se consigan los mismos resultados que al aplicar una tasa anual durante el mismo año y al mismo capital. En estos casos, se habrá encontrado una tasa diaria o mensual (o de cualquier otra periodicidad, según sea el caso) equivalente a la tasa anual. El procedimiento utilizado para encontrar tasas de interés equivalentes es relativa— mente simple. Enseguida se presentarán dos ejemplos, a partir de los cuales se puede obtener una fórmula general para hallar tasas de interés equivalentes. El primero establece la relación de equivalencia entre una tasa de interés anual y una tasa de interés semestral y el segundo establece la relación de equivalencia entre una tasa de interés anual y una tasa de interés trimestral. 1.5.1 Equivalencia entre interés anual e interés semestral Se trata aquí de encontrar una tasa de interés semestral tal que aplicada a un capital durante dos semestres arroje los mismos resultados que una tasa anual conocida que se , aplica al mismo capital durante el mismo año. Sean, entonces: la =Tasa de interés anual is =Tasa de interés semestral C = Capital invertido inicialmente Cf = Capital final Al final del año, se obtiene, según la aplicación de lafórmula © Cf=C(i+¡a)1 Se debe entonces, encontrar una tasa de interés semestral tal que aplicada durante dos semestres a C se obtenga una cantidad igual a C(l + ia)

21 La aplicación de la tasa semestral se puede ver paso por paso: — Al final del primer semestre se obtiene, según la fórmula © C(1+is)1 final d— elpA rl imfi en ral sed mel ess te rg e)un mdo áss ée sm teest mre uls tie plo icb at die one poel r c laap ti at sa al din eic ii na tl ed rée s:ese semestre (0 sea el C(l + ¡$) + C(1 + is).is Por tanto, por hipótesis se tiene que: C(l+ ia) =C(l+ ¡S) + C(l+ is).is C(l+ ia) =C(l+ is) (l+ is) c(1+ ia) =C(l+ ¡s)2 (l+ia) =(l+ is)2

De donde: (1+ is) = (1+ ¡a)“2 ¡S =(1+ ¡a)1/º —1

Ejemplo: Encontrar la tasa de interés semestral equivalente a una tasa anual de 28.50% ¡$ =(1+¡a)1/2 — 1 is '=(1+ 0.285)“2 —1 is =l.1336 —l = 13.36% Al aplicar cada una de esas tasas a un capital de $ 100 durante un año, se obtiene: 100 (1.285) = 128.50

100(1.1336)2 =128.50

Ejemplo: Encontrar la tasa de interés semestral equivalente a una tasa anual de 12.00% '.s=(1+ ¡a)“º _1 ¡s=(1+0.12)1/2 —1 is 1.0583 —1 =5.83%

22 Al aplicar cada una de esas tasas a un capital de $280 durante un año se obtiene: 280 (1.12) =313.60 280 (1.0583)2 =313.60 A la inversa, se puede obtener una tasa anual equivalente a una tasa semestral, como en el siguiente ejemplo: Ejemplo: Encontrar la tasa de interés anual equivalente a una tasa semestral de 11.76% (1+ ia) = (i + ¡s)2 ia=(l+is)2—l ¡a=(1+0.1176)º —l la =1.2490 — 1 = 24.90% Al aplicar cada una de esas tasas a un capital de $789.50 durante un año, se obtiene: 789.50 (1.1176)2 =986.10 789.50 (1.2490) =986.10 1.5.2 Equivalencia entre interés anual e interés trimestral Se trata aquíde encontrar una tasa de interés trimestral tal que aplicada a un capital durante cuatro trimestres arroje los mismos resultados que una tasa anual conocida que se aplica al mismo capital durante el mismo año. Sean, entonces: ¡a =Tasa de interés anual it =Tasa de interés trimestral C =Capital invertido inicialmente Cf = Capital final Al final de año y mediante la aplicación de la tasa anual se obtiene: Cf=C(l+ia)1 Ahora, se debe encontrar una tasa trimestral tal que aplicada durante cuatro trimestres a C se obtenga una cantidad igual a C(l + ia). La aplicación de la tasa, trimestre por trimestre, es la siguiente:

Primer trimestre: 23

Capital inicial: C Capital final: C(l + it)

Segundo trimestre:

Capital inicial: C(l + it) Capital final: en + it) + en + it).it =C(l + it) (1+ it) =c(1 + ¡t)2

Tercer trimestre: Capital inicial: C(1 + ¡t)2

Capital final: C(1+ ¡t)2 + c(1+ ¡t)º.it =c(1+ it)2(l+ it) =c(1+ ¡t)3

Cuarto trimestre: Capital inicial: C(1 + ¡t)3

Capital final: c(1 + it)3+ c(1 + ít)3.it = c (1 + ¡t)3 (1 + it) = c(1 + it)4

Por definición se sabe que: en + ia) =c(1 + it)4

De donde: : (1+ ia) (1 + it)4

De donde: : (1 + it) (1 +ia) 1/4

¡t=(1+¡a)1/4—1

Ejemplo: Encontrar la tasa de interés trimestral equivalente a una tasa anual de 24.00%. : it (1+ ¡a)… —1 it ll (1+ 0.24)“4 —1 it ll 1.05525 _ 1 = 5.525% Al aplicar cada una de estas tasas a un capital de $526 durante un año se obtiene: 526 (1.24) = $652.24 526 (1.05525)4 = $652.24

24

Ejemplo: Encontrar la tasa de interés trimestral equivalente a una tasa anual de 5.27% ¡F (1 + ¡a)“4 —1 lt ll (1+ 0.0527)“4 —1 it ll 1012922 —1 = 1.2922%

Al aplicar las dos tasas de interés a un capital de $500.000 durante un año se obGene: : 500.000 (1.0527) 526.350 : 500.000 (1 .012922)4 526.350

Ejemplo: Encontrar la tasa de interés anual equivalente a una tasa trimestral de 10.00% ia=(l+it)4 —l —.4—(l+010) i——a ia=1464i —l =4641% Al aplicar cada una de estas tasas a un capital de $37.289 durante un año se obtiene: 37.289 (1.4641) = 54.594.82 37.289 (1.10)4 = 54.594.82 1.5.3 Equivalencia general entre tasas de interés Si se aplica el mismo procedimiento utilizado en los puntos 15.1 y l.5.2 se pueden obtener tasas de interés equivalentes entre dos períodos de tiempo cualesquiera.

Sean: ia = Tasa de interés anual im =Tasa de interés mensual id = Tasa de interés diaria ib =Tasa de interés bimensual Las equivalencias de cada una de las tasas anteriores con la tasa de interés anual

serán las siguientes: 25 ¡b=(1+¡a)1/6—1 im =(1+ ¡all/12 —1 id =(l+ia)1/365 —1 Se puede, entonces, generalizar el procedimiento y obtener una fórmula general pa— ra hallar tasas de interés equivalentes entre dos períodos de tiempo determinados. Si conocemos una tasa de interés para un período X cualquiera (¡X) y se quiere obtener la tasa de interés para un período Y diferente (¡Y) con la característica de que esta última tasasea equivalente a la actualmente conocida, la fórmula general es la siguiente: ¡Y = (l+iX) Y'x—1 Fórmula © Es muy importante tener en cuenta que los dos períodos de tiempo deben estar ex— presados, necesariamente, en el mismo tipo de unidades: si X está expresado en años Y debe también estar expresado en años; si X está expresado en meses Y también debe estar expresado en meses; si X está expresado en días Y también debe estar expresado en días; si X está expresado en trimestres Y también debe estar expresado en trimestres, pues de lo contrario no tendría aplicación la fórmula de conversión encontrada.

Ejemplo: Encontrar la tasa mensual equivalente a una tasa anual de 30.00 º/< X =l2 meses ¡X = 30.00% Y =1 mes ¡Y = ? ¡Y =(1.30)“12 —1 =2.2104% Se aplican las dos tasas a un capital de $l.487 durante un año: 1.487 (1.30) = 1.933.10 1.487 (1.022104)12 = 1.933.10

26

Ejemplo: Encontrar la tasa de interés diaria equivalente a una tasa trimestral de 7.63%.

X =90días iX =7.63% Y =ld1'a ¡Y = ? ¡Y = (i .0763)“ºº —1 =0.08173% Se aplican la dos tasas a un capital de $760 durante dos trimestres: : 760 (1.0763)2 880.40 760(1.0008173)180 =880.40

Ejemplo: Encontrar la tasa bimensual equivalent